Mallien ryhmittelyä

Matemaattisia malleja voidaan ryhmitellä eri tavoilla, riippuen siitä, mistä mallin ominaisuuksista ollaan kiinnostuneita. Seuraavassa tarkastellaan muutamia mahdollisia ryhmittelyperusteita.

Dynaaminen/staattinen malli

Staattinen järjestelmä ei riipu aikaisemmista tiloista. Esimerkiksi ideaalikaasun, jonka tilanyhtälö on pV=nRT, paine nousee kaksikertaiseksi, jos tilavuus puolitetaan riippumatta siitä, mitä kaasulle on aikaisemmin tapahtunut.

Dynaamisen järjestelmän tila puolestaan riippuu aikaisemmista tiloista. Kaksi x-akselia pitkin kulkevaa massallista kappaletta voivat olla täysin eri paikoissa hetkellä t, jos niitä siirtäneet voimat ovat jossain aikaisemmassa vaihessa olleet erisuuruiset. Massakappaleen paikka ei siis riipu yksinomaan kullakin hetkellä sitä ohjaavasta voimasta.

Dynaamisen mallin yhtälöissä esiintyy derivaattoja tai integraaleja, näin myös massakappale-esimerkissä: x''(t) = F(t)/m (tämähän on vanha tuttu F = ma kirjoitettuna kiihtyvyyden sijasta paikan avulla).

Dynaamisessa järjestelmässä vaste saattaa vaihdella pitkään vaikka heräteen muutos olisi vain hetkellinen ilmiö. Staattisessa järjestelmässä vaste muuttuu vain täsmälleen niillä hetkillä kuin herätekin.

Kuva 1. Järjestelmän heräte ja vaste. Vasemalla staattinen järjestelmä ja oikealla dynaaminen järjestelmä.

Lineaarinen/epälineaarinen malli

Järjestelmä on lineaarinen, jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

Kaikki järjestelmät, jotka eivät toteuta ylläolevia ehtoja, ovat epälineaarisia.

Ideaalikaasun malli lineaarisena järjestelmänä

Säiliössä, jonka tilavuus on V, on ideaalikaasua n moolia lämpötilassa T kelviniä. Kaasun paine on

Pidetään tilavuutta vakiona ja muutellaan lämpötilaa ja mitataan paine, eli lämpötila on heräte ja paine vaste. Systeemi on lineaarinen sillä se toteuttaa molemmat lineaarisuusehdot:

Todelliset järjestelmät ovat usein epälineaarisia, mutta yleensä niitä voidaan approksimoida lineaarisilla malleilla. Niiden matemaattinen käsittely on huomattavasti helpompaa kuin epälineaaristen.

Jos differentiaalin jokainen yhteenlaskettava termi on muotoa vakio kertaa jokin derivaatta muuttujasta, niin differentiaaliyhtälö on lineaarinen. Tässä on vain muotoiltu edelliset ehdot toiseen muotoon, toki myös differentiaaliyhtälöiden lineaarisuus voidaan tarkistaa käyttäen ylläolevia ehtoja.

Differentiaaliyhtälön lineaarisuus

Differentiaaliyhtälö

on lineaarinen, sillä sen jokainen termi on muotoa "vakio kertaa derivaatta muuttujasta". (Termi 10 y(t) on vakio kertaa y:n nollas derivaatta.)

Tarkastetaan asia vielä esimerkin vuoksi käyttämällä alkuperäistä määritelmää. Olkoot u1(t) ja u2(t) kaksi mielivaltaista herätefunktiota ja y1(t) sekä y2(t) niiden aiheuttamat vasteet, eli ne y:t, jotka toteuttavat differentiaaliyhtälön, kun oikealle puolelle sijoitetaan vuoronperään u1(t) ja u2(t).

Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön syötteeksi u(t):n paikalle k u1(t), missä k on vakio, ja sievennetään:

Ensimmäinen yhtäsuuruus seuraa y1(t):n määritelmästä. Viimeinen muoto on samanlainen kuin alkuperäinen differentiaaliyhtälö paitsi että y:n paikalla on k y1. Siis k y1 on vaste silloin, kun herätteenä on k u1 ja ensimmäinen ehto toteutuu.

Tarkistetaan vielä toinen ehto samalla tavalla. Sijoitetaan siis yhtälöön syötteeksi u1 + u2 ja sievennetään:

Taas käytettiin aluksi y1(t):n ja y2(t):n määritelmiä. Viimeinen muoto on jälleen kuten alkuperäinen yhtälö, nyt vain vasteen paikalla on y1(t) + y2(t), joten toinenkin ehto toteutuu ja yhtälö todellakin on lineaarinen.

Matemaattinen heiluri

Pistemäistä massaa m, joka riippuu L:n pituisen varren varassa sanotaan matemaattiseksi heiluriksi. Heiluria vetää alaspäin painovoima G = mg. Kun heiluri poikkeutetaan kulmaan θ tasapainoasemastaan, sitä pyrkii palauttamaan takaisin vääntömomentti T, jonka suuruus on varren pituus L kertaa vartta vasten kohtisuora painovoiman komponentti m g sin θ. Kaavan miinus-merkki seuraa siitä, että vääntömomentti on päinvastaiseen suuntaan kuin poikkeutuskulma.

Tämä riippuvuus on epälineaarista sillä yhtälö ei toteuta lineaarisuuden ensimmäistä ehtoa. Jos nimittäin syötteenä on 2 θ, niin vaste ei ole sama kuin kaksi kertaa vasteen arvo, kun syötteenä on θ.

Tässä todistettiin ensimmäisen ehdon rikkoutuminen tutkimalla vain yhtä vakion k arvoa. Järjestelmän todistaminen lineaariseksi on vaikeampaa kuin epälineaariseksi todistaminen, koska lineaarisen järjestelmän täytyy toteuttaa molemmat ehdot kaikilla vakioilla ja syötteillä. Epälineaarisuuden todistamiseksi riittää näyttää, että jompikumpi ehto ei toteudu jollakin syötteellä.

Pienillä poikkeamakulmilla kulman sini on lähes yhtäsuuri kuin kulma, siksi voidaan approksimoida

Tämä approksimaatio on lineaarinen, mutta mitä suuremmaksi kulma kasvaa sitä suurempi virhe approksimaatiossa tehdään.

Eräs tärkeä lineaaristen systeemien ominaisuus on se, että sinisignaaliheräte aikaansaa sinimuotoisen vasteen. Tämä on oleellista ns. taajuustason säätösuunnittelumenetelmissä, joita käsitellään myöhemmin kurssilla.

Jatkuva-aikaiset/diskreettiaikaiset mallit

Diskreettiaikaisissa malleissa suureet muuttuvat vain tietyillä ajan hetkillä ja pysyvät väliajat vakioina. Esimerkiksi vuosittain erääntyvä korko saattaaa noudattaa aikadiskreettiä mallia:

Tässä siis k = 0,1,2,3,... on aikaindeksi, joka ilmoittaa kuluneen ajan vuosissa.

Diskreettiaikainen malli esitetään differenssiyhtälöinä.

Jatkuva-aikaisessa mallissa suureet voivat muuttua jatkuvasti. Jatkuva-aikaisiin järjestelmiin liittyy differentiaaliyhtälö.

Tällä kurssilla käsitellään lähinnä jatkuva-aikaisia malleja.

Jakautuneiden/koottujen parametrien mallit

Jos komponentin läpi kulkevalla suureella (virta vastuksen molemmissa päissä, voima jousen päissä) oletetaan vaikuttavan täsmälleen sama arvo komponentin molemmissa päissä, niin mallia sanotaan koottujen parametrien malliksi. Tarkasti ottaen virran kulkemisen vastuksen läpi ja voiman välittymiseen jousen päästä päähän kuluu jokin äärellinen aika eikä suureen arvo komponenttien päissä ole täsmälleen yhtäsuuri joka hetkellä. Tälläistä tarkempaa mallia sanotaan jakautuneiden parametrien malliksi.

Usein komponenttien läpäisyajat ovat hyvin lyhyitä verrattuna koko systeemin vasteaikaan. Tällöin tilanne voidaan yksinkertaistaa koottujen parametrien malliksi. Aina näin ei kuitenkaan voi tehdä, esimerkiksi nesteen virtaus putkessa vaatii jakautuneiden parametrien mallin käyttöä.

Jakautuneiden parametrien mallin tunnistaa osittaisderivaatoista. Koottujen parametrien malleissa on ainoastaan aikaderivaattoja. Säätöteknisessä kirjallisuudessa käytetään yleensä aikaderivaatan merkitsemiseen pistenotaatiota, esim. , kuitenkin .

Nesteen pitoisuus C muuttuu z-akselin suuntaisessa putkessa ajan t, virtauksen v ja diffuusion D funktiona seuraavan yhtälön mukaisesti:

Huomaa vasemman puolen termin aikaderivaatta, jota on merkitty pisteellä. Oikean puolen pilkuilla merkityt derivaatat lasketaan paikkamuuttujan z suhteen. Koska differentiaaliyhtälössä on osittaisderivaattoja sekä ajan että paikan suhteen, kysessä on jakautuneiden parametrien malli.

Aikavariantit/aikainvariantit mallit

Aikainvarianteissa malleissa parametrit, kuten kappaleiden massat tai jousivakiot, ovat vakioita, kun taas aikavarianteissa malleissa ne voivat muuttua ajan mukana.

Todelliset järjestelmät kuluvat ajan mukana, joten ne ovat aikavariantteja, mutta yleensä kuluminen vaikuttaa merkittävissä määrin vain pitkällä aikavälillä. Tällöin systeemin dynamiikkaa voidaan hyvin approksimoida aikainvariantilla mallilla.

MIMO-/SISO-mallit

Jos mallissa on vain yksi heräte ja vaste, se on SISO-malli. Tälläinen järjestelmä on esimerkiksi hissi, jonka herätteenä on halutun kerroksen numero ja vasteena on kiihdytyskomento hissin moottorille.

Esimerkkinä MIMO-systeemistä mainitaan auton jousitus, jonka herätteinä ovat tienpinnan epätasaisuudet kunkin renkaan kohdalla ja vasteina auton korin kallistuma ja korkeus tienpinnasta.

Tässä peruskurssissa keskitytään SISO-järjestelmiin. Monimuuttujaprosessit ovat huomattavasti monimutkaisempia käsitellä.